RLC串联电路暂态过程研究  

【实验目的】  

1． 研究R、L、C串联电路的电路参数与其暂态过程的关系。  

2． 观察二阶电路过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种情况下的响应波形。利用响应波形，  

计算二阶电路暂态过程的有关参数。  

3． 掌握观察动态电路状态轨迹的方法  

【实验仪器】  

名  称数量型号  

1．函数信号发生器1台  

2．示波器1台  

3．电阻                      5只             10Ω×1、200Ω×1、1kΩ×1、2kΩ×1、10kΩ×1  

4. 电容   1只            0.01μF×1  

5. 电感1只       10mH×1  

6. 桥形跨接线和连接导线    若干  

7. 实验用9孔方板一块              

【实验原理】  

暂态过程：  

当一个含有电感或电容的电路在接通或断开电源的短暂时间内，电路从一个稳定状态转变到另一个稳定状态，这个过程被称为暂态过程。暂态过程的时间一般很短，但在该过程中出现的某些现象却非常重要，例如：某些暂态过程中会出现比稳态大数倍及数十倍的电压或电流。此外，暂态过程一方面有可能严重威胁电气设备和人身安全；另一方面也可以巧妙的应用在电子电路中，例如日光灯中的镇流器。因此，在物理学和工程技术中暂态过程的研究是很重要的。  

  

1．RC串联电路的暂态过程
   如图6.6-1所示的RC串联电路。当开关接通“1”时，RC串联电路处于充电状态，电容两端电压逐渐增大至电源电压E，达到稳定状态。然后把开关接通“2”，电路将处于放电状态，电容两端电压逐渐减小至零，达到稳定。电路方程为：  

 

 

图6.6-1 RC串联电路  

 

     充电过程
      放电过程  

注意到，，上式可写成  

     充电过程
               放电过程                                      （6.6-1）  

 初始条件  

                 充电开始时  

                放电开始时                                  （6.6-2）  

利用初始条件（6.6-2），求解方程（6.6-1），可得  

            充电过程  

                 放电过程                                    （6.6-3）  

令为RC电路的时间常数，它反映RC电路暂态过程中电容电压和电阻电压变化的快慢。图6.6-2是RC暂态过程的波形图。  

 

 

 

图6.6-2 RC暂态过程的波形  

 

2．RL串联电路的暂态过程  

 

   如图6.6-3所示的RL串联电路。当开关接通“1”时，RL串联电路开始有电流，电流逐渐增大到最大值 时达到稳定。电流达到最大值后，把开关接通“2”，此时电流不能直接降到零，而逐渐消失。电路方程为：
 

 

图6.6-3 RL串联电路  

 

     电流增长过程  

     电流消失过程      

注意到，，上式可写成  

     电流增长过程
      电流消失过程                   （6.6-4）  

初始条件为  

              电流开始增长时  

             电流开始消失时                                    （6.6-5）  

利用初始条件（6.6-5），求解方程（6.6-4），可得  

     电流增长过程  

          电流消失过程  

        电流增长过程  

       电流消失过程                                         （6.6-6）  

令为RL电路的时间常数。图6.6-4是RL暂态过程的波形图。  

 

 

图6.6-4 RL暂态过程的波形  

 

 

3．RLC串联电路的暂态过程  

用二阶微分方程来描述的电路称为二阶方程。如图6.6-5所示的RLC串联电路就是一个典型的二阶电路。  

 

 

图6.6-5 RLC串联电路  

 

放电过程：    

在图6.6-5中，开关K先合向“1”使电容充电至电源电压E，再把开关K合向“2”，此时记为t = 0时刻，电路将处于放电状态。在放电过程中的电路所满足的方程为：  

 

将 ，，代入上式得                      

                                    （6.6-7）  

上式中：每一项均表示电压，第一项是电感上的电压，第二项是电阻上的电压，第三项是电容上的电压，各项都是电容上的电压的函数，此时为二阶方程。  

初始条件为：  

,                                                             （6.6-8）  

                                                   （6.6-9）  

式（6.6-8）中，由于电容两端电压不会发生突变，因此电容上电压在开关接通前后瞬间都是相等的，都等于信号电压。式（6.6-9）中，由于电感电流不会发生突变，即，而电容电压对时间的变化率等于电感上电流，因此它也等于零。  

 

充电过程：    

在图6.6-5中，开关K先合向“2”使电容完全放电，再把开关K合向“1”给电路充电，此时记为时刻。在充电过程中的电路所满足的方程为：  

                                               （6.6-10）  

初始条件为：  

,                                                                （6.6-11）  

                                                     （6.6-12）  

 

在三个不同的条件下，二阶电路的放电过程(6.6-7~6.6-9)式或者充电过程(6.6-10~6.6-12)式将有三种不同的解。二阶电路中的R、L、C选择不同的参数，电路将会产生三种不同的响应，即过尼状态，欠阻尼（衰减振荡）和临界阻尼。  

令，，当时，取，；当时，取，。具体的求解过程参考附录一。  

 

（1）当电路中的电阻过大了：R > 2时，即时，称为过阻尼状态。其解为：  

放电过程：                

         （其微分参考附录二）  

充电过程：            

                                     （6.6-13）  

电路中的响应电压、电流呈现出非周期性变化的特点，其电压、电流波形如图6.6-6（a）所示。  

 

 

图6.6-6 过阻尼状态RLC串联电路电压、电流波形及其状态轨迹  

 

从图6.6-6中可以看出，电流不出现振荡现象。图6.6-6（b）中所示的状态轨迹，就是伏安特性。电流由最大减小到零，没有反方向的电流和电压，这是因为当电流经过电阻时，能量全部被电阻吸收。  

 

（2）当电路中的电阻过小了：R < 2时，即时，称为欠阻尼状态。其解为：  

放电过程：                  

               （其微分参考附录二）  

充电过程：  

                               （6.6-14）  

电路中的响应电压、电流呈现出衰减振荡的特点，此时衰减系数。是在的情况下的振荡频率，称为无阻尼振荡电路的固有角频率。在时，RLC串联电路的固有振荡角频率将随着衰减系数的增加而降低。其电压、电流波形如图6.6-7（a）所示。  

 

 

图6.6-7 欠阻尼状态RLC串联电路电压、电流波形及其状态轨迹  

 

从图6.6-7（a）中可以发现电路中出现了反方向的电压和电流，这是因为电阻较小，当电压变为零时，存在反充电的现象。图6.6-7（b）表示电压和电流间的状态轨迹。  

 

（3）当电路中的电阻适中：R=2时，即时, 称为临界状态。其解为：  

放电过程：    

               

充电过程：    

                                            （6.6-15）  

此时，衰减系数，，暂态过程界于非周期与振荡之间，其本质属于非周期暂态过程，该过程电压、电流图形与图6.6-6相似。  

【实验内容与步骤】    

注意：在实验中用信号发生器的方波来代替图6.6-1，6.6-3，6.6-5中的电源和开关K。  

1．参考图6.6-1，串联信号发生器，调整各元件的参数，使电阻，电容，信号发生器的信号为频率、幅度的方波。用示波器测出信号源电压，电容两端电压，并画出和。  

2．参考图6.6-3，串联信号发生器，调整各元件的参数，使电阻，电感，信号发生器的信号为频率、幅度的方波。用示波器测出信号源电压，电感两端电压，并画出和。  

3．按图6.6-8所示电路将电阻、电容、电感串联起来，调整各元件的参数，使、，改变电阻R，分别使电路工作在过阻尼、欠阻尼和衰减振荡状态，并测出各种状态的输出波形。  

 

 

 

图6.6-8 二阶电路实验接线图  

 

（1）进行数据处理，求出衰减系数δ、振荡频率，并用示波器测量其电容上电压的波形将波形及数据结果填入表6.6-1。  

表6.6-1 RLC电路参数及输出波形  

共振频率        

 

（2）在欠阻尼状态下测量不同参数的衰减系数和波形  

保持电路一直处于欠阻尼状态，选取三个不同阻值的电阻，用示波器测量相应的输出波形，并计算出衰减系数，将波形和数据填入表6.6-2。  

表6.6-2 欠阻尼状态的RLC电路参数及输出波形  

【思考题】  

1、R、L、C串联电路的暂态过程为什么会出现三种不同的工作状态？试从能量转换角度对其做出解释。  

2、叙述二阶电路产生振荡的条件，振荡波形如何？与电路参数R、L、C有何关系？  

【参考资料】  

1． 教材：大学物理实验，杨广武主编，天津大学出版社2009.  

2． 王植恒. 大学物理实验. 北京：高等教育出版社，2008.  

3． 王国东. 大学物理实验. 北京：高等教育出版社，2008.  

4． 吕斯骅. 新编基础物理实验. 北京：高等教育出版社，2006.  

5． 方利广. 大学物理实验. 上海：同济大学出版社，2006.  

6． 何焰蓝. 大学物理实验. 北京：机械工业出版社，2010.  

 

【附录一】  

令，，当时，取，，或当时，取，。  

放电过程：  (6.6-7)式简化为  

                                   （a）  

,                                                        （b）  

                                             （c）  

令，并代入式（a）中整理得特征方程：  

                                               （d）  

(1)  当时，(d) 式有两个实根  

 

此时电容上的电压的一般解为  

 

代入到初始条件（b-c）式，得：  

；          

解得：  

；        ；  

由 可得    

   ；  

  ；      （e）  

 (其中符号两个同时取上面的，两个同时取下面的也可以)  

   

   

       （f）  

（2） 当时， (a) 式有两个虚根。  

   

 

代入到初始条件，可得：  

；  

解得：  

；  

                                    （g）  

 

（3） 当时， (a) 式有重根。  

 

此时是一个解，令一解可用代入（a）式可得  

 

 

 

代入到初始条件，得： ；  

 

                                                   (h)  

 

充电过程：令 (6.6-10~6.6-12)式简化成  

                                                （i）  

,                                                               （j）  

                                                   （k）  

则(h)和(a)式，(i)和(b)式，(j)和(c)式一样，同样解得；  

（4）当时，  

。                             (l)  

（5）当时，  

。                                     (m)  

（6）当时，  

    。                                          (n)  

【附录二】  

（7）当电压为 时    

 

 

利用(e)的结果，有  

         

 

     

（8）当电压为 时，