用三线摆测刚体转动惯量
描述刚体本身相对于转轴的特征的物理量叫做刚体对于转轴的转动惯量，简称转动惯量。转动惯量它与刚体的质量大小、质量分布和转轴的位置三个因素有关。转动惯量表述的是刚体转动惯性的大小，是研究和描述刚体转动定律的一个重要物理量，类似于做平动的物体的质量。在科研和生产中会遇到很多转动问题，飞轮、叶片、电机的转子、钻机等所有转动的物体都会涉及转动惯量，因此转动惯量的测量和研究具有重要意义。对于形状简单、质量分布均匀的刚体，可以通过尺寸、质量的测量利用相应的数学公式计算出转动惯量。但对于形状复杂或者质量分布不均匀的刚体，用公式计算就非常困难甚至不可能，一般要用实验方法来测定。测定刚体转动惯量的方法很多，本实验中用的是三线摆法。
【实验目的】
1、学会用三线摆测定物体的转动惯量；
2、学会用累积放大法测量周期；
3、验证转动惯量的平行轴定理。
【实验仪器]
三线摆转动惯量实验仪（附待测圆环和圆柱），数显计数计时毫秒仪（或秒表），游标卡尺，钢直尺，水准仪。
【实验原理】
1、 测量圆盘绕中心轴的转动惯量I0
图1 转动惯量测定仪
图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个悬点均匀分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘可以固定转动，用手拧动上圆盘可以带动下圆盘绕中心轴
作扭摆运动。由于下圆盘的摆动周期与其转动惯量大小有关，所以当下圆盘及其上面放的刚体的转动惯量不同时，相应的扭摆周期也不同。
当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动,其运动方程为：
图2 三线摆原理图
(1)
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高
，根据机械能守恒定律有：
(2)
即:
(3)
而:
(4)
0时，
(5)
将（5）式代入（2）式得：
(6)
从图2中的几何关系可得:
,
简化得:
因为
很小，因此
是一个二阶小量，略去
，且取
，
则有:
(7)
(7)代入（6）式得
(8)
式中各物理量的意义如下：
为下盘的质量；
、
分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；
为平衡时上下盘间的垂直距离；
为下盘作简谐运动的周期，
为重力加速度，不同地区的取值请查阅有关资料或由实验室给定。
2、测量圆环的转动惯量I
将质量为
的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与轴重合。测出此时摆运动周期
和上下圆盘间的垂直距离
。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为：
(9)
如不计因重量变化而引起悬线伸长，则有
。那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为:
(10)
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。
3、 测量圆柱体绕圆盘中心轴的转动惯量并验证平行轴定理
若质量为
的物体绕通过其质心轴的转动惯量为
，当转轴平行移动距离
时（如图3所示），则此物体对新轴的转动惯量为
。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验时将质量均为，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的小孔）。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴的转动周期
，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:
(11)
如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离
以及小圆柱体的半径
，则由平行轴定理可
求得 
(12)
比较
与
的大小,可验证平行轴定理.
【实验内容与步骤】
1、调整三线摆实验装置
（1）用钢直尺测量三条悬线的长度，若不等长，利用上圆盘上的三个调节螺丝进行调节，使三悬线等长。
（2）将水准器放在下圆盘中央，观察水准器调节底板上三个调节螺钉，使下圆盘处于水平状态并保持稳定。
（3）若用毫秒仪应适当调整光电门与挡光杆的相对位置，保证下圆盘转动时挡光杆可以完全挡光并不与光电门接触，且使光电门位于振动的平衡位置处，开启毫秒仪并设置计数为20次。若用秒表将秒表设置为计时状态，并检查按钮是否灵活可靠。
2、测量周期 
、和
（1）在下圆盘处于静止状态下，轻轻转动上圆盘的转动手柄，将上圆盘转过一个小角度（5°~15o左右），带动下圆盘绕中心轴作微小扭摆运动（不应伴有晃动，转动角度以10°以内为宜）。摆动若干次后达到平稳扭摆状态，开始计时，记录20个周期的时间
。计时装置复位，重新使圆盘静止，重复上述方法测量每次20个周期共5次，将数据记录到表1中，即可算出 ，并评定其不确定度。
（2）将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠（圆环的外缘恰好与下圆盘上标记的的某一圆周重合），按步骤1的方法测定摆动周期。
（3）将两个小圆柱体对称放置在下圆盘的一对孔中，用上述同样方法测定摆动周期
。
3、长度的测量和质量的记录
（1）长度测量记入表2：用钢直尺分别测出上、下圆盘三个悬点两两之间的距离
和
，各测量5次，然后算出悬点到中心的距离和
（等边三角形外接圆半径）；用钢尺测出上下两圆盘之间的垂直距离
（单次）和放置两小圆柱体小孔间距
（5次）；用游标卡尺量出待测圆环的外、内径
、
和小圆柱体的直径
各5次；算出以上各量的间接测量量填入表2。由于下圆盘悬点到到中心的距离不等于下圆盘的半径（见图4），所以计算理论值用的下圆盘半径R0要用游标卡尺单次测量直径2R0然后算得。
图4 下圆盘平面图
（2）各刚体的质量标记在刚体上，记入表3。
（3）评定与I0有关的各中间量的不确定度并填入表中。
【注意事项】
1、严禁仪器发生碰撞；
2、在测量上下盘之间的高度时，注意不要将钢尺压在下盘上，这样测出的高度会偏大。
3、转动角度不可太大，不得晃动；
4、挡光杆要完全遮光且不接触光电门，否则将产生错误的周期计数。
【数据记录与处理】
1、 实验数据记录
表1 周期测量数据记录 单位：s
| |
下圆盘
|
下盘加圆环
|
下盘加两圆柱
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| |
20个周期
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1
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| |
2
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| |
3
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|
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| |
4
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| |
5
|
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|
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| |
平均
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| |
周期
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T 0
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T 1
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|
Tx
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| |
不确定度
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uA(T0)
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|
-
|
-
|
|
| |
uB(T0)
|
|
-
|
-
|
|
| |
u(T0)
|
|
-
|
-
|
|
表2 长度测量数据记录表 单位：cm
项目
次数
|
上盘悬孔
间 距
a
|
下盘悬孔间 距
b
|
待测圆环
|
小圆柱体直径2Rx
|
放置小圆柱体两小孔间距
2x
|
外直径
2R1
|
内直径2R2
|
1
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|
|
|
|
|
|
2
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|
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|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
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|
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5
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|
平均
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计算结果
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R1
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R2
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Rx
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x
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uA
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-
|
-
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-
|
-
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uB
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|
-
|
-
|
-
|
-
|
u
|
|
|
-
|
-
|
-
|
-
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表3 单次长度测量与给定质量记录
物理量
|
上、下圆盘间距
H /cm
|
下圆盘半径
R0 /cm
|
下圆盘质量m0/g
|
待测圆环质量m/g
|
圆柱体质量m′/g
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测量值
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|
|
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|
不确定度
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|
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|
-
|
-
|
2、 圆盘转动惯量的计算
（1） 用式(8)计算下圆盘的转动惯量I0 =———————————————；
（2） 参照教材第一章相关内容评定其不确定度
= —————————————————；
（3）理论值 
=—————————————————；
（4）相对误差 
——————————————————；
3、圆环转动惯量的计算
（1）用式(10)计算待测圆环测量结果I=——————————————————；
（2）理论值
=——————————————————；
（3）相对误差
——————————————————；
4、验证平等轴定理
（1）用式（11）求出圆柱体绕中心转轴
的转动惯量Ix =——————————————————；
（2）理论值
=—————————————————；
（3）相对误差
=—————————————————。
【研究与讨论】
1、在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？
2、三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？
3、验证平行轴定理时，要减小直尺测量小孔间距的误差，小圆柱的相对位置应该放得近些还是远些？
